\subsection{相互独立事件同时发生的概率}\label{subsec:3-4}

甲坛子里有 $6$ 个白球，$4$ 个黑球，乙坛子里有 $3$ 个白球，$5$ 个黑球，从这两个坛子里分别摸出一个，
它们都是白球的概率是多少？

我们把 “从甲坛子里摸出一个球，得到白球” 叫做事件 $A$，把 “从乙坛子里摸出一个球，得到白球” 叫做事件 $B$。
很明显，从一个坛子里摸出的是白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出白球的概率没有影响。
这就是说，事件 $A$（或 $B$）是否发生对事件 $B$（或 $A$）发生的概率没有影响，
这样的两个事件叫做\textbf{相互独立事件}。

在上面的问题里，
事件 $\buji{A}$ 是指 “从甲坛子里摸出一个球，得到黑球”，
事件 $\buji{B}$ 是指 “从乙坛子里摸出一个球，得到黑球”。
很明显，事件 $A$ 与 $\buji{B}$， $\buji{A}$ 与 $B$，$\buji{A}$ 与 $\buji{B}$ 也都是相互独立的。
一般地，如果事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，那么 $A$ 与 $\buji{B}$， $\buji{A}$ 与 $B$，
$\buji{A}$ 与 $\buji{B}$ 也都是相互独立的。

“从两个坛子里分别摸出一个，都是白球” 是一个事件，它的发生，就是事件 $A,\, B$ 同时发生，
我们将它记作“$A \cdot B$”。于是，这里的问题就是要求相互独立事件 $A,\, B$ 同时发生的概率 $P(A \cdot B)$。

从甲坛子里摸出一个球，有 $10$ 种等可能的结果；
从乙坛子里摸出一个球，有 $8$ 种等可能的结果。
于是，从两个坛子里分别摸出一个球，共有 $10 \times 8$ 种等可能的结果，
其中同时摸出白球的结果有 $6 \times 3$ 种。因此，从两个坛子里分别摸出一个球，
都是白球的概率 $P(A \cdot B) = \dfrac{6 \times 3}{10 \times 8} = \dfrac{6}{10} \times \dfrac{3}{8}$。

另一方面，
从甲坛子里摸出一个球，得到白球的概率 $P(A)$ 为 $\dfrac{6}{10}$，
从乙坛子里摸出一个球，得到白球的概率 $P(B)$ 为 $\dfrac{3}{8}$，
于是我们看到
\begin{align}
    \boxed{P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B) \text{。}}  \tag{3} \label{eq:du-li}
\end{align}
这就是说，\textbf{两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。}

一般地，\textbf{如果事件 $A_1,\, A_2,\, \cdots,\, A_n$ 相互独立，那么这 $n$ 个事件同时发生的概率，
等于每个事件发生的概率的积，}即
\begin{align}
    P(A_1 \cdot A_2 \cdot \, \cdots \, \cdot \,  A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot \, \cdots \,  \cdot P(A_n) \text{。} \tag{$3'$} \label{eq:du-li-ex}
\end{align}


\liti 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是 $0.6$，计算：

(1) 两人都击中目标的概率；

(2) 其中恰有一人击中目标的概率；

(3) 至少有一人击中目标的概率。

分析：甲、乙两人各射击一次，甲（或乙）是否击中，对乙（或甲）击中的概率是没有影响的，
也就是说，“甲射击一次，击中目标” 与 “乙射击一次，击中目标” 是相互独立事件。
根据公式 \eqref{eq:du-li}，可以求出这两个事件同时发生的概率。
同理可以分别求出，甲击中与乙未击中，甲未击中与乙击中，甲未击中与乙未击中同时发生的概率，
从而可以得到所求的各个事件的概率。

解：(1) 记 “甲射击一次，击中目标” 为事件 $A$，“乙射击一次，击中目标” 为事件 $B$。
因此，“两人各射击一次，都击中目标” 就是事件 $A \cdot B$。
又由题意可知，事件 $A$ 与 $B$ 相互独立。根据公式 \eqref{eq:du-li}，所求的概率是
$$ P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B) = 0.6 \times 0.6 = 0.36 \text{。} $$

答： 两人都击中目标的概率是 $0.36$。

(2) “两人各射击一次，恰有一人击中目标” 包括两种情况：
一种是甲击中、乙未击中（事件 $A \cdot \buji{B}$ 发生），
另一种是甲未击中、乙击中（事件 $\buji{A} \cdot B$ 发生）。
根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，
即事件 $A \cdot \buji{B}$ 与 $\buji{A} \cdot B$ 互斥，
根据公式 \eqref{eq:hu-chi} 和 \eqref{eq:du-li}，所求的概率是
\begin{align*}
        & P(A \cdot \buji{B}) + P(\buji{A} \cdot B) \\
    ={} & P(A) P(\buji{B}) + P(\buji{A}) \cdot P(B) \\
    ={} & 0.6 \times (1 - 0.6) + (1 - 0.6) \times 0.6 \\
    ={} & 0.24 + 0.24 \\
    ={} & 0.48 \text{。}
\end{align*}

答：其中恰有一人击中目标的概率是 $0.48$。

(3) \textbf{解法一：} “两人各射击一次，至少有一人击中目标” 的概率
\begin{align*}
    P &= P(A \cdot B) + [P(A \cdot \buji{B}) + P(\buji{A} \cdot B)] \\
      &= 0.36 + 0.48 = 0.84 \text{。}
\end{align*}

\textbf{解法二：} 两人都未击中目标的概率是
\begin{align*}
    P(\buji{A} \cdot \buji{B}) &= P(\buji{A}) \cdot P(\buji{B}) = (1 - 0.6) \times (1 - 0.6) \\
        &= 0.4 \times 0.4 = 0.16 \text{，}
\end{align*}
因此，至少有一人击中目标的概率
$$ P = 1 - P(\buji{A} \cdot \buji{B}) = 1 - 0.16 = 0.84 \text{。} $$

答：至少有一人击中目标的概率是 $0.84$。


\liti 在一段线路中并联着三个自动控制的常开开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作。
假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 $0.7$ ，计算在这段时间内线路正常工作的概率。

\begin{wrapfigure}[22]{r}{5cm}
    \centering
    \input{../pic/ds3-ch3-3-2}
    \caption{}\label{fig:3-2}
\end{wrapfigure}

分析：根据题意，这段时间内线路正常工作的概率，就是三个开关中至少有一个能闭合的概率，
也就是三个开关都不能闭合的对立事件的概率。由于这段时间内三个开关是否能闭合相互之间没有影响，
三个开关都不能闭合的概率可根据公式 \eqref{eq:du-li-ex} 求出，从而可得到所求的概率。

\jie 分别记这段时间内开关 $J_A,\, J_B,\, J_C$ 能够闭合为事件 $A,\, B,\, C$ (图 \ref{fig:3-2}) 。
根据题意，这段时间内至少有一个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是
\begin{flalign*}
    \hspace{4em}    & 1 - P(\buji{A} \cdot \buji{B} \cdot \buji{C}) \\
    ={} & 1 - P(\buji{A}) \cdot P(\buji{B}) \cdot P(\buji{C}) && \text{($\buji{A},\, \buji{B},\, \buji{C}$ 相互独立)} \\
    ={} & 1 - [1 - P(A)] \, [1 - P(B)] \, [1 - P(C)] \\
    ={} & 1 - (1 - 0.7) (1 - 0.7) (1 - 0.7) \\
    ={} & 1 - 0.3^3 \\
    ={} & 0.973 \text{。}
\end{flalign*}

答：在这段时间内线路正常工作的概率是 $0.973$。


\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{一个口袋内裝有 $2$ 个白球和 $2$ 个黑球，
    把 “从中任意摸出一个球，得到白球” 叫做事件 $A$，
    把 “从剩下的 $3$ 个球中任意摸出一个球，得到白球” 叫做事件 $B$。
    在先摸出白球后，再摸出白球的概率是多少？
    在先摸出黑球后，再摸出白球的概率是多少？
    这里事件 $A$ 与事件 $B$ 是相互独立的吗？
}

\xiaoti{生产一种零件，甲车间的合率是 $96\%$，乙车间的合率是 $97\%$，
    从它们生产的零件中各抽取一件，都抽到合格品的概率是多少？
}


\xiaoti{有一问题，在半小时内，甲能解决它的概率是 $\dfrac{1}{2}$，乙能解决它的概率是 $\dfrac{1}{3}$，
    如果两人都试图独立地在半小时内解决它，计算：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{两人都未解决的概率；}

    \xiaoxiaoti{问题得到解决的概率。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{某射手射击一次，击中目标的概率是 $0.9$。他连续射击 $4$ 次，且各次射击是否击中相互之间没有影响，
    那么他第 $2$ 次未击中、其他 $3$ 次都击中的概率是多少？
}

\end{xiaotis}

